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自認為數學好的人,大多只是「算術」比較強!具備「邏輯性勇氣」才是真正擅長數學

自認為數學好的人,大多只是「算術」比較強!具備「邏輯性勇氣」才是真正擅長數學

【我們為什麼&#25361 […]

【我們為什麼挑選這本書】我們通常會把數學成績好,計算速度快的人視為「數學好的人」;然而這些體現的是「算術」而不是「數學」能力。那什麼是真正的數學能力?數學能力好的人有怎樣的特徵?

藉由《喚醒你與生俱來的數學力》一書,我們將認識數學思維的精隨:用「邏輯」解決問題的能力。(責任編輯:郭家宏)

請問聽見數學力時,你會聯想到什麼呢?我想應該有很多人會朝比較籠統的方向去聯想,比如說:

▌能夠快速且正確計算的能力
▌能夠快速解答應用題的能力
▌能夠快速解答數學謎題的能力

不過我認為這些能力跟數學力都沒有關係。

每次跟幾個朋友去吃飯,要平均分攤飯錢時,只要有人問我:

「永野,一個人多少錢?」

我都會一陣心虛。朋友會這樣問我,當然是因為他們覺得我是數學老師,所以應該很會心算,但其實我算錯的機率相當高。是的,我必須厚顏無恥地自首,我一點也不擅長心算。……更正確來說,我連算術本身都不太行。假如現在正在閱讀這本書的你是我的朋友的話,請你以後別再叫我心算了。每次算錯時,你們那冷冰冰的眼神實在很傷人(淚)。

真正的數學能力:即使無法解答,也要找出問題的解決方向

雖然聽起來很像在找藉口,不過 數學能力其實並不等於計算能力 。我知道在極為優秀的數學家或科學家之中,也有不擅長計算的人。甚至在我印象中,這樣的人反而不在少數。當然我並不打算對我低落的計算能力置之不理,畢竟身為一名數學老師,理當持續鍛鍊計算能力以減少授課時計算錯誤的情形。 不過我認為計算能力並不是必備的能力,尤其對大人來說更是如此 。因為現在連百元商店都買得到計算機了,而且只要有智慧型手機的語音辨識功能,就算光靠一張嘴也能知道計算的結果。

那麼「快速解答應用題的能力」又如何呢?其實這也不足以構成一個人是否具備數學力的證據 。因為只要多接觸各種題型,懂得將問題分門別類,然後套用既定的解法,就能夠快速解答應用題……啊,我這樣說好像有點太武斷了。對不起啊。 但數學本來就不是一門講求「速度」的學問 。比如說著名的費馬定理就是經過約 350 年的漫長光陰後,才終於被證明出來。期間應該有無數的數學家終其一生都在嘗試證明此原理吧!

那些無名的數學天才之所以能稱得上是數學家,並不是因為他們能夠迅速找出答案,而是因為他們擁有不屈不撓的精神,不超越前人絕不放棄 。如果說費馬定理這個例子太極端的話,那麼像是 1988 年東大入學考試中出現的傳說中的難題(與正四面體的正射影有關的問題),當時各補習班以最快速度公布的「最佳解答」也都大相逕庭,類似這樣的題目也幾乎不可能「快速解答」。

另一方面,將已知的題型分門別類並加以解題,是電腦最擅長的工作之一,因此擁有這項能力的人在出了社會以後,並不會像學生時期一定那麼受到肯定。 我們人類所需具備的能力,是針對那些尚未建立演算法(處理方式)的未知問題提出解答,即使無法解答也要找出解決的方向。這才是真正的數學力。

以數學為邏輯思考,最重要的是「耐心」

在現在這個資訊化社會,任何事情都講求速度。人們很容易認為能夠立刻解答問題的人就是「聰明」的人。不過事實真是如此嗎?如果把世界上存在的各種可能性都納入考量的話,應該有些問題是無法立即解答的才對。

實際站上教學第一線以後,不曉得是不是因為孩子們在答題時向來被要求速度,我發現大家愈來愈不習慣思考了。這是一件非常嚴重的事。我認為比起快速作答,深思熟慮應該值得獲得更多的鼓勵。

我有一位朋友 T 君,當年以「筑駒(筑波大學附屬駒場高等學校)有史以來最頂尖的天才」之稱進入東大。我和他相識於以「東大歌劇團」為名的歌劇社團,一年級的時候共同擔任公關的職務。這位 T 君在我和他共同執行社團業務的過程中,真的非常地「深思熟慮」。比如說,當我們要寄送明信片至各大學,通知演奏會的消息時,我只會直接提議:

「反正只要有可能會來的,我們就全部都寄不就好了嗎?」

但他卻會針對每一所學校,仔細思考每張明信片的郵資是否真的能發揮相應的效果:

「這所大學雖然有名為歌劇團的團體,但實際上卻是在玩音樂劇的……」

因此,我原本以為可以在 5 分鐘內解決的事情,最後卻花了將近 1 個小時才完成。不過最後的結果當然是取得了相當不錯的邊際效益。而且從第二次開始,因為我們已經將資料統整於當時尚未普及的試算表軟體內,所以兩人甚至不需要碰面就可以迅速完成作業。 妄下定論與數學力恰好位於兩個極端。必要時花點時間耐心思考,是以數學邏輯思考時最重要的觀念。

擅長數學的人,大多具備「邏輯性的勇氣」

接下來,我們繼續看第三點「能夠快速解答數學謎題的能力」吧。全日本最具代表性的數學教師之一的安田亨老師,在《東大數學多拿一分的方法:理組篇》一書中提到:

頭腦能夠放入數學性事實的容量大小,是『數學好不好』的要因之一 。優秀的人腦中都有抽屜,可以整齊地排列順序,即使情況稍微複雜也不至於造成混亂。數學性的一步,步伐是很大的。 但不擅長數學的人,容量通常很小。因此習慣一味地把眼前的事物化為公式,無視於整體的面貌,只計算眼前的問題。

這和我在教授數學時實際感受到的情況幾乎一模一樣。

一般來說,擅長數學的人都具有一種優秀的能力,稱作「邏輯性的勇氣」。即使站在看不見終點的入口,也有勇氣朝著自己認為正確的方向前進。反之,不擅長數學的人只要站在看不見終點的入口,很容易就懦弱地認為「我恐怕做不到」而選擇放棄。

舉例來說,擅長數學的人即使在操作一台無法靠直覺理解的機器時,也會靠著說明書徹底瞭解其功能;相對地,不擅長數學的人大多下意識地排斥沒有說明書就無法理解的機器,寧可選擇像是 iPhone 或 iPad 等產品。當然,擁有優秀的直覺能力是一件很棒的事。能夠迅速掌握別人需要花時間才能理解的事情,是一項不得了的才能。而且 iPhone 和 iPad 能夠廣受全世界歡迎最不可忽略的要因之一,也就是來自它在操作上的直覺性。不過這卻與數學所追求的目標完全相反。

我們需要的不是直覺,而是用「邏輯」解決難題的能力

能夠以驚人的速度解開智力測驗或數獨的人,不管任誰看了都會覺得「頭腦真好」吧。事實上,那些人應該具備了靈活的想像力和直覺力(我就沒有這種天賦……)。而許多人似即會因此以為:

「擁有直覺的人就是擅長數學的人,沒有直覺的人就是不擅長數學的人。」

但這觀念其實大錯特錯。來自上天啟示般的突發奇想、連自己都不知道為什麼會有這種念頭的「直覺」,和數學力一點關係也沒有。如果這種東西就叫做數學力的話,那我只能說幾乎所有人都沒有必要學數學了。至少, 要在大學的入學考試中合格,或是在工作或生活上需要靠數學式思考來解決問題時,並不需要什麼特別的「直覺」,所以各位可以放心了。 我們真正需要的並不是藉由「直覺」比別人早一步找出解答的能力,而是無論碰到多麼困難的問題,都能夠一步一步以邏輯性方式邁向正確解答的能力。

「滴水穿石靠的不是蠻力,而是持之以恆。」

這是古羅馬哲學家盧克萊修(Titus Lucretius Carus)的名言。我認為這種連石頭都能貫穿、持續不斷的集中力,才是真正的數學力。

能夠快速計算、能夠按照題型正確解答應用題,和擅長解答數學謎題(圖形問題),都是「算術」當中相當重要的能力 。沒錯,本節開頭提到的三種能力並非數學力,而是「算術力」。從小學升上國中時,雖然面對的同樣是數學算式,但科目名稱卻從「算術」改成「數學」(編按:此指日本的情形。),原因並不是為了讓你體驗到長大的滋味(笑)。算術和數學是兩種貌同實異的學問。說得極端一點, 算術是一門磨練你如何「迅速且正確解答已知問題能力」的科目,數學則是一門「培養你解答未知問題能力」的科目。

算術力與我們的生活息息相關。舉凡買東西時可以立刻算出該找多少零錢、理解股價指數的意義,或是光靠不動產的廣告就能對房屋的大小一目瞭然等,這些絕對都是生活上不可或缺的能力。不過數學所追求的並不是要我們能夠迅速推導出這種早已經有固定解答的問題。

(本文書摘內容出自《喚醒你與生俱來的數學力》,由 臉譜 授權轉載,並同意 TechOrange 編寫導讀與修訂標題。首圖來源:Piqsels CC Licensed

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